An Estimate for the Multiplicity of Binary Recurrences

We use a refined version of Roth’s Lemma, proved with the help of Faltings’ Product Theorem, in order to give an upper bound for the multiplicity of a binary linear recurrence. Résumé Nous utilisons une version du Lemme de Roth, provenant du Théorème du Produit de Faltings, pour majorer la multiplicité d’une récurrence linéaire binaire. Version française abrégée Dans l’article [7] H.-P. Schlickewei donne une majoration, indepéndante du corps des nombres, de la multiplicité d’une récurrence linéaire binaire. La contribution principale à cette majoration est exprimée par une version, pour la droite projective, du théorème du sousespace de Schmidt. Nous améliorons cette majoration en utilisant la même méthode, mais faisant appel à un Lemme de Roth plus puissant, démontré à partir d’idées liées au théorème du Produit de Faltings ([4], [3], [6]). Même si ce résultat n’est pas comparable à la majoration remarquable obtenue récemment par F. Beukers et H.-P. Schlickewei [2], elle montre jusqu’à quel point on peut arriver en utilisant les techniques du théorème du sous-espace de Schmidt dans ce contexte. Nous démontrons, Théorème 1.1. Soient a, b, α, β nombres complexes, tels que au moins un entre α, β n’est pas une racine de l’unité. Alors il y a au moins 2 entiers m ∈ Z tels que aα + bβ + 1 = 0. Pour démontrer ce théorème il nous faut la proposition suivante. Soit S un sous-ensemble fini de MK contenant les places à l’infini. Pour tout v ∈ S nous donnons deux formes linéaires L1,v(x), L2,v(x) ∈ {X1,X2,X1 + X2} et deux nombres réels e1,v, e2,v tels que ∑ v∈S(e1,v + e2,v) = 0, et pour tout sous-ensembles S ′ of S, et chaque (i(v))v∈S′ avec i(v) ∈ {1, 2}, | ∑ v∈S ei(v),v |6 1. Ce sont les conditions (3.1) − (3.3) de [7]. On obtient, Date: August 12, 1997.